Continuamos avanzando por el mundo del álgebra. Pero espera, si no has leído las dos publicaciones anteriores sobre el álgebra, es más que probable que no te enteres de na’. Así que te dejo enlace directo para que vayas a esas publicaciones y comiences por allí.

  1. El lenguaje algebráico
  2. Ecuaciones

Ahora sí, continuemos.


Bien, hoy aprenderemos los siguientes conceptos:

  • Qué son las ecuaciones lineales con dos incógnitas
  • Qué son los sistemas equivalentes
  • Qué tipos de sistemas hay según el número de soluciones
  • Los métodos de resolución de sistemas

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de la forma:

\left\{\begin{matrix} ax + bx = e\\ cx + dy = f\end{matrix}\right.

X e Y son las incógnitas; A, B. C y D son los coeficientes de las incógnitas; E y F son los términos independientes.

La solución de una ecuación con dos incógnitas es todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Las ecuaciones lineales son polinómicas de primer grado. ax+by=c. Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

Representación gráfica

La ecuación ax+by=c se representa mediante una recta. La expresión ax+by=c es la ecuación de la recta. Sus puntos son soluciones de la ecuación.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Para obtener sistemas equivalentes se pueden hacer, entre otras, estas operaciones:

  • Cambiar el orden de las ecuaciones.
  • Sumar o restar un número a los dos miembros de una de las dos ecuaciones.
  • Multiplicar o dividir una de las dos ecuaciones por un número no nulo.
  • Cambiar una ecuación por la suma de las dos ecuaciones.

Por ejemplo:

Al multiplicar en \left\{\begin{matrix} -3x+5y=26\\24x+y=-4 \end{matrix}\right., la primera ecuación por (-2) y dividir la segunda entre 4, se obtiene \left\{\begin{matrix} 6x-10y=-52\\6x+\frac{1}{4}=-1 \end{matrix}\right., que es un sistema equivalente al inicial

Tipos de sistemas según el número de soluciones

[1]

Sistemas con una solución

Los sistemas que tienen una solución se llaman compatibles determinados (SCD, para los amigos). Gráficamente, son dos rectas que se cortan en un punto.

Como podemos ver en la imagen [1], es la representación gráfica del sistema de ecuaciones \left\{\begin{matrix} x-y=1\\5x+4y=32 \end{matrix}\right.

Sistemas con infinitas soluciones

[2]

Los sistemas que tienen infinitas soluciones se llaman compatibles indeterminados (SCI, para los amigos). Gráficamente, son dos rectas que coinciden.

Como podemos ver en la imagen [2], es la representación gráfica del sistema de ecuaciones \left\{\begin{matrix} 2x+3y=15\\4x+6y=30 \end{matrix}\right..

Y si piensas que te estoy engañando, así luce el editor Geogebra.

Sistemas sin solución

[3]

Pero no todos los sistemas de ecuaciones tienen solución. Los sistemas de ecuaciones sin solución reciben el nombre de incompatibles, que gráficamente son dos rectas paralelas.

Como podemos observar en la imagen [3], es la representación gráfica del sistema de ecuaciones \left\{\begin{matrix} 2x+3 y=15\\2x+3y=9 \end{matrix}\right.

Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones

Método de sustitución

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se siguen los siguientes pasos:

  1. Se elige una de las dos incógnitas y se despeja en una de las dos ecuaciones.
  2. Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación.
  3. Se resuelve la ecuación obtenida.
  4. Sustituyendo este valor en la ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita.
El segundo es para un sistema no lineal

Método de igualación

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación se siguen los siguientes pasos:

  1. Se elige una de las dos incógnitas y se despeja en las dos ecuaciones.
  2. Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones obtenidas.
  3. Se resuelve la ecuación para obtener el valor de la incógnita.
  4. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones despejadas se obtiene el valor de la otra incógnita.

Método de reducción

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción se siguen los siguientes pasos:

  1. Se multiplican las ecuaciones por los números adecuados para que los coeficientes de una de las dos incógnitas sean iguales u opuestos.
  2. Se suman o se restan las ecuaciones obtenidas para eliminar la incógnita que ha quedado con coeficientes opuestos o giales.
  3. Se obtiene un valor de una incógnita.
  4. Se sustituye el valor de la incógnita obtenido en una de las dos ecuaciones iniciales del sistema, para calcular el valor de la otra incógnita.

Sistemas de ecuaciones no lineales

Cuando alguna de las ecuaciones de un sistema no es de primer grado, se dice que es un sistema de ecuaciones no lineal. Las ecuaciones pueden ser polinómicas de grado mayor o igual que 2, racionales, irracionales, logarítmicas, exponenciales…

Este vídeo también te puede servir con Física.

Resolución de problemas mediante sistemas

Categorías: MatemáticasAprender

Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9