? Aproximaciones y errores

Cantidades exactas y aproximadas

A la hora de hacer alguna actividad que requiera la aritmética, utilizamos cantidades exactas y aproximadas.

Pero… ¿por qué usamos cantidades aproximadas?

Simplemente por que desconocemos la cantidad exacta o por que sí conocemos la cantidad exacta, pero no vemos o consideramos necesario indicar esta cantidad con máxima precisión.

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un número aproximado. Solo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste. Los ceros del final de un número no son cifras significativas si solo se han utilizado para poder expresar la cantidad en la unidad deseada.

9km \rightarrow 1cs
9,2km \rightarrow 2cs
9,246km \rightarrow 4cs

Si el número está dado en notación científica, las cs (cifras significativas) son aquellas que aparecen en el nº decimal que multiplica a la potencia de base 10.

3,4 * 10^5 \neq 3,40*10^5

Control de error cometido

El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).

\varepsilon_a = |Vreal - Vaprox|

El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).

\varepsilon_r = \frac{\varepsilon_a}{Vreal}

? Cálculos con porcentajes

Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

Para hallar un tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento de forma decimal y se multiplica por él.

21\% \ de \ 7520 = \frac{21}{100} * 7520 = 1579,2

Obtenemos el valor decimal del porcentaje y luego lo multiplicamos por el número al que necesitamos saber el porcentaje.

Obtención del tanto por ciento correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, a, respeto a un total, C, se obtiene \frac{a}{C} y se multiplica por 100.

En una granja, el depósito de agua que suministra a todas las infraestructuras tiene una capacidad de 9844 Litros, de los cuales, 5677 son consumidos al mes. ¿Cuál es el porcentaje de consumo mensual? Aproxima el resultado a las décimas.

Datos

  • El depósito de agua tiene una capacidad de 9844 Litros
  • Se consume 5677 Litros se consumen mensualmente
  • ¿Porcentaje de consumo?

Op/Raz

\frac{5677}{9844} = 0.57669646485

Luego lo aproximamos a las décimas. 0.57669646485 \simeq 0.58

Respuesta: La granja consume un 58% del depósito mensualmente.

Cálculo de aumentos porcentuales

El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama índice de variación. En aumentos porcentuales, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal. calcular el valor final, halla el índice de variación y multiplícalo por la cantidad inicial:

Valor Final = Valor Inicial x Índice de Variación

Aquí tienes un ejemplo aplicándolo a un problema fácil:

El año pasado se vendieron 1200 videojuegos y 980 libros. Si este año subió un 15% la venta de videojuegos y subió un 5% la de libros, ¿cuántos videojuegos y libros se vendieron?

Datos

  • Año pasado se vendieron 1200 videojuegos y 980 libros.
  • Este año subió un 15% la venta de videojuegos y 5% libros.
  • ¿Videojuegos y libros vendidos este año?

Op/Raz

VideojuegosLibros
Año pasado1200980
Este año+15%+5%

Calculo de la venta de videojuegos este año

x=\frac{1200*115}{100}=1380

Calcuo de la venta de libros este año

x=\frac{980*105}{100}=1029

Respuestas: Este año se vendieron 1380 videojuegos y 1029 libros.

Cálculo de disminuciones porcentuales

En una disminución porcentual, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal. Para calcular el valor final, halla el índice de variación y multiplícalo por la cantidad inicial.

Un ejemplo de problema:

Una empresa de transportes ofrece a sus trabajadores un 30% de descuento en los billetes que adquieran. ¿Qué importe tendrá para un trabajador de dicha empresa un billete que para un usuario tiene un valor de 85 €?

Datos

  • 30% descuento a trabajadores en cualquier billete.
  • ¿Importe que tendrá que abonar un trabajador para un billete de 85€?

Op/Raz

Calculamos el índice de variación

1-0,30=0,70

Calculamos el precio final

85€ * 0,70=59,5

Respuesta: El billete tendrá un precio de 59,5€ para el trabajador.

Cálculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

Sigamos con otro problema:

Un televisor cuesta ahora 910 €, después de que la tienda aumentara su precio en un 30%. ¿Cuánto dinero costaba antes de la subida?

Datos

  • TV cuesta ahora 910€ después de subirle al valor inicial un 30%

Op/Raz

Calculamos el índice de variación

1+0,30=1,30

Calculamos el precio final, pero desconocemos el precio inicial…

y€ * 1,30=910

…por lo que calcularemos la incógnita y.

y = 910 \div 1,30 = 700

Respuesta: El televisor costaba 700€ antes de la subida.

Encadenamiento de variaciones porcentuales

Aquí tenemos otro problema de ejemplo:

Unas acciones que valían 1000€ suben un 60%. Después vuelven a subir el 25%. ¿Cúal será el precio final de las acciones?

Datos

  • Acciones Precio Inicial 1000€
  • Sube 60% y luego un 25%

No se puede:

  • Sumar 60% + 25%!

Op/Raz

  1. Averiguamos el primer índice de variación. 1+0,60
  2. Calculamos la primera subida de precio. 1000*1,60=1600
  3. Averiguamos el segundo índice de variación. 1+0,25=1,25
  4. Calculamos la segunda subida de precio. 1600*1,25=2000

Respuesta: El precio final de las acciones son 2000€.

? Interés compuesto

Proporcionalidad compuesta en problemas aritméticos

¿Qué es la proporcionalidad compuesta?

Categorías: AprenderMatemáticas

Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9