Cargando duoestudios.es

Veremos la teoría de golpe y luego enlazaré a vídeos tutoriales en las que se pone en práctica la teoría.

Para los compañeros del IES Montevives, esta publicación da todo el bloque de funciones (T8 y T9).

Las funciones y sus gráficas

Una función es una relación entre dos variables que generalmente llamaremos x e y, donde x es la variable independiente e y es la variable dependiente (es decir, a cada valor de x, se asocia un único valor de y. Se dice que y es función de x y se representa y=f(x)

Las funciones se pueden emplear para descubrir fenómenos físicos, económicos, biológicos, relaciones matemáticas…

Dado que el propietario del vídeo ha desactivado la opción de inscrustar el vídeo en otras web, os dejo aquí el enlace al vídeo de la explicación informal.

Representación Gráfica

La representación gráfica de las funciones se realizan sobre los ejes cartesianos. Representamos:

  • La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas)
  • La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas)

Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa x y su ordenada y, es decir, (X,Y).

El conjunto de valores de x que tiene “pareja” con y se llama dominio de definición de la función. Se puede representar como D(f)

Y al conjunto de los valores y que toma la función se llama recorrido de la función. Se puede representar como R(f)

Los ejes deben estar graduados en sendas escalas, de modo que se puedan cuantificar los valores de las dos variables.

Aspectos relevantes de una función

Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

Una función tiene un mínimo relativo para x=a o si f(a) es el menor valor que toma la función para todos los valores de x próximos a a

Si f(a) es el menor valor que toma la función, se dice que tiene un mínimo absoluto en x=a

Una función tiene un máximo relativo para x=a o si f(a) es el mayor valor que toma la función para todos los valores de x próximos a a

Si f(a) es el mayor valor que toma la función, se dice que tiene un máximo absoluto en x=a

Discontinuidades. Continuidad

Las gráficas trazadas sin levantar el lápiz del papel (sin saltos), se dice que son funciones continuas. En cambio, si son gráficas con saltos, se llaman funciones discontinuas. Los puntos en los que una función presenta un salto se llaman discontinuidades.

Comportamiento a largo plazo

TENDENCIA

Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarían lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.

PERIODICIDAD

Las funciones periódicas son aquellas cuyo comportamiento se va repitiendo cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese intervalo se le llamará periodo.

Expresión analítica de una función

La expresión analítica de una función es una ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables que intervienen.

Función de proporcionalidad (función lineal) y=mx

La función de proporcionalidad tiene por ecuación y=mx. Las funciones de proporcionalidad se representa con una recta que pasa por (0,0). La constante de proporcionalidad o pendiente (m), puede ser negativa o positiva y tiene que ver con la inclinación de la recta. Veamos unos cuantos ejemplos:

La recta roja no es una función de proporcionalidad, su recta no pasa por (0,0).
La recta verde es una función de proporcionalidad, su recta PASA por (0,0).
La recta azul tiene una pendiente negativa. La recta gris tiene una pendiente positiva.

Representación Gráfica

Para representar una función de proporcionalidad debemos saber que es una recta y que pasa por el punto (0,0). Así que, para poder obtener la recta, solo necesitamos otro punto. Veamos un ejemplo:


Sea la función lineal (de proporcionalidad) y=f(x)=\frac{3}{5}x La representación gráfica, será una recta de ecuación y=\frac{3}{5}x.

Al tener “despejada y” generamos una tabla de valores.

Como ya tenemos la tabla de valores, pasamos a realizar su representación gráfica en unos ejes cartesianos. Como dice mi profesor, esto es como jugar a los barquitos.

Ecuación a partir de la gráfica

Si la gráfica de una función es una recta que pasa por el origen (0,0), sabemos que es una función de proporcionalidad (y=mx). Para determinar su ecuación, necesitamos saber su pendiente m.

Para determinar la pendiente, empleamos la siguiente fórmula m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. Es decir, para averiguar la pendiente necesitamos conocer dos puntos cualesquiera de la recta.

Veamos como obtener la ecuación a partir de una gráfica.


El siguiente problema nos pide averiguar la ecuación a partir de esta gráfica. Esta gráfica es de una función proporcional, ya que la recta pasa por el origen (0,0).

Para averiguar la pendiente, necesitamos un punto más. El punto que escogeremos será Q(1,2). Ya estamos preparados para averiguar la pendiente, pero un momento… ¿que punto le asigno x_1 y y_1?

Atento, el punto que más cerca esté del x=0 será nuestro primer punto. El segundo punto es el que más alejado esté de x=0. En nuestro caso, el primer punto será P(0,0) y el segundo, Q(1,2).

Aplicamos la fórmula para averiguar la pendiente:

m=\frac{2-0}{1-0} \rightarrow m=\frac{2}{1} \rightarrow m=2

Tras aplicar la fórmula, descubrimos que la pendiente (m) es igual a 2. Ahora que conocemos todos los datos, podemos escribir la fórmula.

y=mx \rightarrow y=2x

R: La expresión analítica de la recta es y=2x y la función de la recta es y=f(x)=2x

Función afín y=mx+n

Se define genéricamente como función afín, su representación gráfica es una línea recta que NO pasa por el (0,0) de ecuación: y=mx+n.

El número n se llama ordenada en el origen.

Representación Gráfica

Veamos un ejemplo:


Vamos a representar la función y=h(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}

Distinguimos que \frac{3}{2} es la pendiente y \frac{1}{2} es la ordenada en el origen. Dado que la pendiente es positivo, sabemos que la función es creciente.

Vamos a realizar su tabla de valores. (para realizar la tabla de valores, sustituimos en la función la x con el valor que desemos.

Ahora, en unos ejes cartesianos, representamos los puntos calculados en la tabla de valores y trazamos la recta. Nos quedará algo así:

Ecuación a partir de un punto y la pendiente

Veamos un ejemplo:


Hay ejercicios en los que no te darán los puntos, sino que tendrás que fijarte en la gráfica y escoger dos puntos. Es recomendable siempre buscar puntos con números enteros.

El problema nos pide averiguar la función de la recta. Se nos dan a conocer 2 puntos: A(0,-2), B(1,1).

Aplicamos la fórmula para averiguar la pendiente:

m=\frac{1-(-2)}{1-0} \rightarrow m=\frac{1+2}{1} \rightarrow \frac{3}{1} \rightarrow m=3

Tras aplicar la fórmula, descubrimos que la pendiente (m) es igual a 3.

Solo nos falta un dato más, y es la ordenada en el origen. Esta se calcula seleccionando un punto y sustituyendo los términos. Al final estaremos viendo una ecuación de primer grado con una incógnita.

En nuestro ejemplo, usaremos el punto B(1,1) para averiguar la ordenada en el origen.

y=mx+n \rightarrow 1=3(1)+n \rightarrow 1=3+n \rightarrow 1-3 = n \rightarrow -2 = n

Ya hemos averiguado que la ordenada en el origen es -2. Ahora ya conocemos todos los datos necesarios para escribir la expresión analítica y función de la recta.

R: La expresión analítica de la recta es y=3x-2 y su función es y=g(x)=3x-2

Función constante

Si la pendiente es nula, m=0, la función lineal es y=n. Las funciones y=n se llaman funciones constantes. Como m=0, la función no es creciente ni decreciente. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

La función es constante, ya que m=0. Su expresión analítica es y=4

Parábolas y funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son de la forma f(x)=ax^2 + bx + c, donde a, b, c son números reales cualesquiera y a = \not 0

La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Las funciones cuadráticas f(x)=ax^2 + bx + c presentan siempre un máximo o un mínimo absoluto llamado vértice de la parábola.

El eje de simetría de la parábola es una recta vertical que contiene la abscisa del vértice.

Las parábolas tienen un solo punto de corte con el eje de ordenadas y pueden tener ninguno, uno o dos puntos de corte con el eje de abscisas.

Representación Gráfica

La representación gráfica de una función cuadrática es mucho más laboriosa y más compleja, así que te dejo un videotutorial de YouTube sobre como representar gráficamente una función cuadrática.

Categorías: AprenderMatemáticas

Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9