Una ecuación es la igualdad existente entre dos expresiones algebraicas conectadas a través del signo de igualdad en la que figuran uno o varios valores desconocidos, llamadas incógnitas, además de ciertos datos conocidos.

5^x - 5x^2 = 5

Las soluciones de las ecuaciones son los valores de las incógnitas que hacen la igualdad cierta. En el ejemplo anterior, su solución es x = 2 . Siempre que saquemos las posibles soluciones de una ecuación, debemos comprobar si de verdad sirven esos valores, es decir, digamos que el en ejemplo nos sale x=2 y x=1 (no es así, pero digamos que sí nos sale esas soluciones). Bien, vamos a comprobar con x = 2 :

5^2 - 5(2)^2 = 5 \\ 25 - 5*4 = 5 \\ 25 - 20 = 5

Como hemos visto, sí es solución, pero al repetir la operación con x=1:

5^1 - 5(1)^2 = 5 \\ 5 - 5 \not = 5

Podemos ver que no es solución… Entonces… resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que tiene infinitas soluciones o no existe solución.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones

Para obtener ecuaciones equivalentes podemos usar las reglas de la suma o del producto:

  • Regla de la suma (o resta): si se suma un mismo número o expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente.
  • Regla del producto (o división): si se multiplica (o divide) los dos miembros de una ecuación por un número (\not = 0), la ecuación resultante es equivalente a la inicial.

Mi profesor de matemáticas (de hecho, a lo mejor habrá leído esto) nos decía lo siguiente para memorizarlo:

«Para memorizarlo rápido decimos:
Regla de la suma: Lo que está sumando, para restando. Lo que está restando pasa sumando.
Regla del producto: Lo que está multiplicando, pasa dividiendo. Lo que está dividiendo, pasa multiplicando.»

Gracias profe ?

Ecuaciones de primer grado

ax+b=0

Una ecuación es de primer grado o lineal, cuando se puede reducir a una ecuación en la que las expresiones de los dos miembros, son polinomios de primer grado.

Es decir, una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax+b=0, donde a \not = 0. Estas ecuaciones solo tienen una solución x=- \frac{b}{a}.

Si a = 0 , la ecuación no tiene solución.

Si a = 0 y b = 0 , la ecuación tiene infinitas soluciones.

Ecuaciones de segundo grado

ax^2 + bx + c = 0

Una ecuación es de segundo grado con una incógnita cuando se puede reducir a una ecuación equivalente de la forma canónica: ax^2+bx+c=0.

  • Si b \not = 0 y c \not = 0 , la ecuación es completa.
  • Si b=0 y c=0, la ecuación es incompleta.

Por ejemplo:

3x^2 - 15 x + 23 = 0 , es una ecuación de segundo completa, ya que b y c son \not = 0.

2x^2 + 17 = 0 o -3x^2 + 12x = 0, son ecuaciones de segundo grado incompletas ya que b/c = 0.

Si analizamos una ecuación de segundo grado y falta un miembro, el valor de este es 0. Por ejemplo:

2x^2 + 17 = 0 , carece del miembro bx

-3x^2 + 12x = 0, carece del miembro c

x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Las soluciones de la ecuación de segundo grado completa ax^2+bx+c=0 se obtienen mediante la fórmula que hay encima de este párrafo.

El signo \pm de la fórmula indica que, en general, existen dos soluciones distintas:

x=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x=\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Si \Delta > 0, la ecuación tiene dos soluciones:

x=\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}x=\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

Si \Delta = 0 . la ecuación tiene una solución: x = \frac{-b}{2a}

Si \Delta < 0 , \sqrt{\Delta}, no tiene sentido, ya que todos los números negativos no tienen raíz cuadrada.

A \Delta lo llamamos discriminante.

Ahora bien, hemos visto la teoría de resolución de ecuaciones de segundo grado completas. Ahora, toca ver las incompletas. Distinguimos dos tipos:

ax^2+bx=0

ax^2+c=0

Las ecuaciones del tipo ax^2+bx=0 se resuelven extrayendo factor común:

ax^2+bx= x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 \\ ax+b=0 \end{matrix}\right.

Las ecuaciones del tipo ax^2+c=0 se resuelven despejando x directamente.

ax^2+c=0 \Rightarrow ax^2 = -c \Rightarrow x^2 = -\frac{c}{a} \Rightarrow \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}

Resolución de ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales son las formadas por fracciones algebraicas, es decir, aquellas en las que la incógnita aparece en los denominadores.

En la resolución pueden aparecer valores que anulen algún denominador y que por tanto, no sean soluciones válidas.

Resolución de ecuaciones irracionales

Son aquellas en las que la incógnita aparece en el radicando de una raíz. En la resolución pueden aparecer soluciones “falsas”, por tanto, siempre hay que comprobar las soluciones obtenidas.

Ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos

Ecuaciones Sencillas

Se resuelven buscando las raíces del polinomio (como en el tema anterior).

Ecuaciones Bicuadradas

Son las formadas por un polinomio de forma general (después de quitar paréntesis, quitar denominadores, pasar todos los monomios al mismo miembro y simplificar) es por ejemplo: ax^4+bx^2+c=0

Se resuelven haciendo un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado y después deshaciendo el cambio.

Resolución de problemas con ecuaciones

Atención, el segundo ejemplo es de sistemas de ecuaciones (lo veremos en la siguiente publicación)
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Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9