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1. Reglas de divisibilidad

Múltiplos y divisores

  • Un número es múltiplo de otro si el resultado de multiplicar el segundo por algún número natural.
  • Un número es divisor o factor de otro si se puede dividir el segundo entre el primero de forma exacta.

EJEMPLO

  • 24 es múltiplo de 8 ya que al multiplicar 8 por 3 sale 24 de forma exacta
  • 3 es divisor de 24 ya que al dividir 24 entre 3 sale 8
  • 8 es divisor de 24 ya que al dividir 24 entre 8 sale 3

Criterios de divisibilidad

EntreCriterio
2El número termina en cifra par
3La suma de sus cifras es múltiplo de 3
4Las dos últimas cifras son 0 o múltiplo de 4
5El número acaba en 0 ó 5
6Si el número es divisible entre 2 y 3 al mismo tiempo
9La suma de sus cifras es múltiplo de 9
10El número acaba en 0
11Seguir el siguiente procedimiento:
1. Sumar las cifras que ocupan una posición par
2. Sumar las cifras de posición impar
3. Se restan los resultados
4. Si el número inicial es divisible entre 11 si el resultado es 0 o múltiplo de 11
25Sus dos últimas cifras son 0 o un múltiplo de 25
100Sus dos últimas cifras son 0

PROCEDIMIENTO DEL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD DEL 11

Números primos y compuestos

  • Un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y el mismo
  • Un número es compuesto si tiene más de dos divisores,

P.D. El 1 no es primo ni compuesto. Solo tiene un divisor, él mismo.

2. La descomposición factorial

Descomposición en factores primos

Para descomponer un número en factores primos, se siguen tres pasos:

  1. Se busca un divisor primo del número. Conviene empezar por los números primos más pequeños.
  2. Se divide el número entre el divisor primo encontrado
  3. Se repite el proceso hasta que obtengamos el 1

Múltiplos y divisores de números descompuestos en factores

  • Los múltiplos de un número contienen todos los factores primos de dicho número
  • Los divisores de un número están formados por los factores primos de dicho número y productos de estos factores entre sí

Número de divisores de un número natural

Para calcular el número total de divisores de un número, se suma una unidad a cada uno de los exponentes de su descomposición en factores primos y se multiplican los resultados.

3. Máximo común divisor

  • El máximo común divisor (M.C.D) de varios números es el mayor de sus divisores comunes.
  • El M.C.D de varios números es igual al producto de sus factores primos comunes elevados a los menores exponentes.

4. Mínimo común múltiplo

  • El mínimo común múltiplo (m.c.m) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.
  • El m.c.m de varios números es igual al producto de todos sus factores primos comunes y no comunes, elevados a los mayores exponentes

5. Los números enteros

Los números enteros comprenden:

  • Los números enteros positivos: +1, +2, +3…
  • Los números negativos: -1, -2, -3…
  • El cero

El conjunto de todos los números enteros se representa con la letra ℤ

{\displaystyle \mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\,...\}}

Representación de números enteros

  1. Señalamos el origen (0) y el 1 a su derecha a cualquier distancia
  2. Usamos dicha distancia para situar los demás números. Los números positivos se sitúan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda del cero.
Números enteros: Recta Numérica – GeoGebra

Valor absoluto de un número entero

Representa la distancia igual de un número natural que se obtiene al eliminar el signo. Se representa así:

| a | = a :: | -b | = b

El valor absoluto de un número siempre es positivo

Opuesto de un número entero

Como bien dice el título, el opuesto de un número es lo contrario. Si tengo un número positivo, su opuesto estará en negativo. Su definición es:

El opuesto de un número entero a, es otro número entero con el mismo valor absoluto y signo contrario

op(a) = -a | op(-a) = a

Ordenación de números enteros

Importante saber:

  • Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.
  • El 0 es el menor que cualquier número positivo y mayor que cualquier número entero negativo
  • Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor (con otras palabras, el que tiene el número más grande)
  • Dado dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto (con otras palabras, el número más grande es el más pequeño y el número más pequeño es el más grande)

6. Sumas y restas de números enteros

Suma de números enteros

Para sumar los números del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo.

Para sumar los números de distinto signo, se restan sus valores y se deja el signo sumando que tenga mayor valor absoluto

Resta de números enteros

No tiene mucho misterio, para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo, o, de toda la vida, a – b = c.

Suma y restas combinadas

Para realizar sumas y restas dentro de un paréntesis, se puede eliminar el paréntesis teniendo en cuenta que:

  • Si al paréntesis le precede un signo +, los sumandos conservan el signo
  • Si al paréntesis le precede un signo -, los sumandos cambian de signo

7. Multiplicación y división de números enteros

Multiplicación de números enteros

Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos.

  • Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo
  • Si tienen signos opuestos, el resultado es negativo

Divisiones de números enteros

Para dividir dos números enteros, se dividen sus valores absolutos.

  • Si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo
  • Si tienen signos opuestos, el resultado es negativo

Multiplicaciones y divisiones combinadas

Al combinar multiplicaciones y divisiones, debemos seguir el orden, de izquierda a derecha

Múltiplos y divisores de un número

Los múltiplos de un número se obtienen al multiplicar dicho número por un segundo número entero positivo o negativo.

Los divisores de un número entero están formados por sus divisores naturales y sus opuestos.

8. Operaciones combinadas con números enteros

Jerarquía de operaciones.

  1. Realizamos las operaciones que hayan dentro de los paréntesis y corchetes
  2. Quitamos paréntesis usando la regla de los signos
  3. Se realizan las multiplicaciones y divisiones, si aparecen varias, las realizamos de izquierda a derecha
  4. Se realizan las sumas y restas,, si aparecen varias, las realizamos de izquierda a derecha

Propiedad distributiva

Propiedad distributiva. El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.

a · (b+c) = a · b + a · c

Extraer factor común

Consiste en expresar en forma de producto una suma o resta en la que hay un factor que se repite en todos los sumandos.

Categorías: AprenderMatemáticas

Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9