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Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma aunque sus dimensiones sean diferentes.

La distancia entre dos puntos cualesquiera de una de ellas dividida entre la distancia entre los dos puntos correspondientes de la otra es constante y se denomina razón de semejanza.

Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados, proporcionales.

Teorema de tales

Si varias rectas paralelas cortan a dos rectas secantes r y s, los segmentos correspondientes determinados por las rectas paralelas sobre r y s son proporcionales

\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} \Rightarrow \frac{1,25}{1} = \frac{3,75}{3} = \frac{5}{4} = 1,25

Triángulos en posición de Tales. Criterios de semejanza

Dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un vértice común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos.

Los triángulos en posición de Tales son semejantes.

Semejanza de triángulos

  1. Criterio -> Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales.
  2. Criterio -> Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo correspondiente igual, y los lados que lo forman, proporcionales.
  3. Criterio -> Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados de uno proporcionales a los del otro

Relaciones en triángulos. Teoremas del cateto y de la altura

Teorema del cateto

Si en un rectángulo trazamos la altura sobre la hipotenusa, se cumple:

b^2 = m * a y c^2 = n * a

Donde b y c son los catetos y m y n son las dos partes en que queda dividida la hipotenusa por la altura.

Para comprobar el teorema del cateto, utilizamos la semejanza de los triángulos:

  • Como ABC y AHC son semejantes: \frac{b}{a} = \frac{m}{b} \Rightarrow m * a
  • Como ABC y ABH son semejantes: \frac{c}{a} = \frac{n}{c} \Rightarrow c^2 = n * a

Aplicaciones del teorema de Tales

División de segmentos en partes iguales

División de segmentos en partes proporcionales

Construcción de polígonos semejantes

Razones de perímetros, áreas y volúmenes

Razón de longitudes

La razón de dos longitudes correspondientes en dos figuras semejantes coincide con la razón de semejanza.

Razón de áreas

La razón de las áreas de dos figuras semejantes coincide con el cuadrado de la razón de semejanza.

Razón de volúmenes

La razón de los volúmenes de dos cuerpos semejantes coincide con el cubo de la razón de semejanza.

Mapas, planos y maquetas. Escalas

  • Un mapa es una representación gráfica de una zona geográfica.
  • Un plano es la representación gráfica de otro tipo de elementos tales como una vivienda o una ciudad.
  • Una maqueta es la representación reducida de cualquier objeto, tal como un edificio, un avión, un automóvil, etc.

Escalas

La escala de un plano, mapa o maqueta es la razón de semejanza entre la representación de la zona u objeto y la realidad.

E = \frac{Distancia en la representación}{Distancia en la realidad}

Escalas numéricas y gráfica

La escala de un mapa, plano o maqueta se puede expresar mediante una relación de proporcionalidad numérica o mediante una representación gráfica.

Categorías: AprenderMatemáticas

Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9

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