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1. Operaciones combinadas con números enteros

El conjunto de números enteros se representa por Z, con doble trazo central y contiene los elementos:

Su representación gráfica, serán los puntos de la recta numérica:

Sumas y restas combinadas

Al realizar sumas o restas combinadas con paréntesis, podemos eliminar los paréntesis teniendo en cuenta que:

  • Si al paréntesis le precede un signo +, los sumandos se quedan con el mismo signo.
  • Si al paréntesis le precede un signo -, los sumandos cambian de signo.

Ejemplo

Para hallar – (3 – 8) + (3 – 4) podemos proceder de dos formas:

  1. Resolvemos primero las operaciones dentro de los paréntesis
  1. Quitamos paréntesis, cambiando los signos cuando sea preciso:

Multiplicación y división de números enteros

Para multiplicar o dividir dos números enteros:

  1. Multiplicamos o dividimos su valor absoluto
  2. Determinamos el signo teniendo en cuenta la regla de los signos!

Ejemplo

Multiplicamos 5 · (-3):

– Multiplicamos su valor absoluto > 5 · 3 = 15

– Determinamos el signo > (+) · (-) = –

El resultado es -15

Dividimos (-20) : (-5):

– Dividimos su valor absoluto > 20 : 5 = 4

– Determinamos el signo > (-) : (-) = +

El resultado es +4

Multiplicaciones y divisiones combinadas

Al combinar multiplicaciones y divisiones o varias divisiones consecutivas, es necesario seguir el orden de aparición, de izquierda a derecha.

(-8) : (-2) · 4 = 4 · 4 = 16

El resultado es incorrecto si se opera en otro orden

(-8) : (-2) · 4 = (-8) : (-8) = 1

Recuerda revisar la jerarquía de operaciones!

Si el número de factores negativos es impar, el resultado es negativo. Si es par, el resultado es positivo.

(-3) · (+2) · (+5) · (-10) · (-1)

– El signo del producto es negativo > (-) · (+) · (+) · (-) · (-) = (-)

– El producto de los valores absolutos es > 3 · 2 · 5 · 10 · 1 = 300

Por tanto, el resultado de la operación es -300

Propiedad distributiva

El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.

a * (b+c) = a*b + a*c

a, b y c son números enteros.

La propiedad distributiva también se cumple para las restas, ya que restar un número equivale a sumar su opuesto.

Extraer factor común

Consiste en expresar en forma de multiplicación una suma o resta en la que hay un factor que se repite en todos los sumandos.

La jerarquía de operaciones

Al realizar varias operaciones encadenadas con números enteros, es preciso hacer los cálculos en el orden adecuado.

Se resuelven primero las operaciones que aparecen dentro de paréntesis y corchetes y después el resto, siguiente este orden:

1. Se realizan las potencias.

2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

3. Se realizan las sumas y restas

En caso de que el resultado sea una fracción, siempre debe darse en forma de fracción irreducible.

En operaciones con corchetes y paréntesis metidos unos dentro de otros, el orden en el que se resuelven es siempre desde dentro hacia fuera.

2. Fracciones

El conjunto de los números fraccionarios o racionales se representa por Q con doble trazo y contiene los elementos:

\varrho = \begin{Bmatrix} \frac{a}{b} / a, b \in Z y b \neq 0 \end{Bmatrix}, - \frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}

Una fracción \frac{a}{b} es el cociente de dos números enteros: donde a es el numerador y b es el denominador, con b \neq 0

Una fracción se puede interpretar de varias formas:

  • Como partes de una unidad
  • Como cociente entre dos números
  • Como fracción de cantidad

Se representan gráficamente por puntos en la recta numérica, por ejemplo:

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de una cantidad. Las fracciones \frac{a}{b} y \frac{c}{d} son equivalentes si sus productos cruzados son iguales:

a · d = b · c

Para obtener fracciones equivalentes a una dada se multiplican o se dividen sus términos por un mismo número distinto de cero. Cuando los términos de una fracción no pueden dividirse más entre un mismo número se obtiene la fracción irreducible.

Comparación y ordenación de fracciones

Para comparar y ordenar fracciones que tienen distinto numerador:

  1. Se buscan otras fracciones equivalentes con mismo denominador.
  2. Se comparan los numeradores, siendo mayor la que tiene mayor numerador.

Suma y restas de fracciones

Para sumar o restar fracciones se reducen a común denomnador y se suman o se restan los denominadores:

\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}

\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}

Multiplicación de fracciones

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y el denominador, el producto de los denominadores.

\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{a*c}{b*d}

Dos fracciones son inversas si su producto es 1.

La potencia de una fracción es la fracción que resulta al elevar el numerador y el denominador a dicha potencia.

\left (\frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}

Cociente de fracciones

El cociente de dos fracciones equivale al producto de la primera por la inversa de la segunda. (Multiplicar en cruz).

\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a*d}{b*c}

Categorías: AprenderMatemáticas

Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9

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