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Elementos de la geometría del espacio

Existen tres elementos básicos en la geometría del espacio: puntos, rectas y planos.

Posiciones relativas

Ángulo diedros

Un ángulo diedro es la región del espacio que queda determinada por semiplanos que comparten una recta.

Los elementos de un diedro son:

  • Caras del diedro: Los semiplanos que lo forman
  • Arista del diedro: La recta común a los dos planos

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos. Los elementos de un poliedro son:

  • Caras: Son los polígonos que lo forman
  • Artistas: Son los lados de los polígonos que lo forman.
  • Vértices: Son los vértices

Un poliedro es convenxo cuando todos sus ángulos diedros son menores de 180º. Si tienen algún ángulo diedro mayor de 180º, es cóncavo.

Teorema de Euler

En cualquier poliedro convexo se verifica que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos.

C+V=A+2

Poliedros regulares y semirregulares

Un poliedro es regular o platónico cuando es convexo, todas sus caras son polígonos regulares iguales y en todos sus vértices concurren el mismo número de aristas o de caras

Un poliedro es semirregular o arquimediano cuando sus caras son polígonos regulares, aunque no todas iguales, y en todos sus vértices concurren los mismos polígonos en el mismo orden.

Prismas

Un prisma es un poliedro que cumple lo siguiente:

  • Tiene dos caras paralelas e iguales denominadas bases.
  • El resto de caras son paralelogramos y se denominan caras laterales.

Los prismas se nombran según el número de lados de sus bases. (ej: triangular, cuadrangular…)

Pueden ser:

  • Rectos u oblicuos según sus caras laterales sean o no rectángulos.
  • Convexos cuando todos sus ángulos diedros son menores de 180º o cóncavos si alguno de ellos es mayor de 180º
  • Regulares cuando son rectos y sus bases con polígonos regulares

Los elementos de un prisma regular son:

  • Altura: h
  • Lado de la pase: l
  • Apotema de la base: ab 
  • Radio de la base: r 

Paralelepípedos y ortoedros

Un paralelepípedo es un prisma convexo cuyas bases también son paralelogramos. Por tanto, tiene por caras seis paralelogramos que son paralelos dos a dos.

Cuando un paralelepípedo es recto se denomina ortoedro y está formado por seis rectángulos paralelos dos a dos.

Área y volumen de un prisma

El área lateral de un prisma recto es la suma de las áreas de los rectángulos que forman sus caras laterales y coincide con la del rectángulo de su desarrollo plano:

A_{lateral} = P * h

El área total de un prisma regular es:

A_{total} = A_{lateral} + 2 * A_{base} = p*h+p*a_b = p*(h+a_b)

El volumen de un prisma regular es:

V=A_{base}*h

Pirámides

Una pirámide es un poliedro que cumple las siguientes propiedades:

  • Tiene como única base un polígono cualquiera.
  • Las caras laterales son triángulos.
  • Las caras laterales concurren en un punto común: el vértice de la pirámide.

Las pirámides pueden ser:

  • Cóncavas o convexas, según sea el polígono de la base.
  • Rectas u oblicuas, si sus caras son o no triángulos isósceles.
  • Regulares, si son rectas y su base es un polígono regular.

Los elementos de una pirámide regular son:

  • Altura: h
  • Lado de la base: l
  • Radio: r
  • Apotema de la base: ab
  • Apotema de la pirámide: ap

Troncos de pirámide

Si se corta una pirámide por un plano paralelo a la base y se prescinde de la parte superior, se obtiene un tronco de pirámide.

Esta está formada por:

  • Dos bases
  • Las caras laterales, que son trapecios

Área y volumen de una pirámide

El área lateral de una pirámide  regular es la suma de las áreas de todos los triángulos isósceles que forman las caras:

A_{lateral}=\frac{1}{2} *p*a_p

El área total de una pirámide regular es:

A_{total}=A_{lateral}+A_{base}=\frac{1}{2}*p*a_{p}+\frac{p*a_{b}}{2}=\frac{1}{2}*p*(a_{p}+a_{b})

El volumen de una pirámide es:

V=\frac{A_{base}*h}{3}

Cuerpos redondos. Cilindros

Un cuerpo redondo es la figura que se obtiene al hacer girar una figura plana alrededor de una recta situada en el mismo plano y llamada eje.

La generatriz es la línea de la figura plana que genera el cuerpo redondo.

Cilindros

Un cilindro recto es el cuerpo redondo que se genera al girar un rectángulo en torno a uno de sus lados. El lado sobre el que gira el rectángulo es el eje y el lado opuesto, que genera el cilindro se llama generatriz.

Sus elementos son:

  • Radio de la base: r
  • Altura: h
  • Generatriz

Área y volumen de un cilindro

El área lateral de un cilindro es el del rectángulo que forma su superficie lateral.

A_{lateral}=2\pi rh

El área total de  un cilindro de radio de la base r y de altura h es:

A_{total}=A_{lateral}+2*A_{base}=2\pi rh+2\pi r^2

El volumen de un cilindro de radio de la base r y altura h es:

V=A_{base}*h=\pi * r^2 * h

Conos

Un cono recto es un cuerpo redondo que se genera al girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos.

La hipotenusa es el lado del triángulo que genera el cono y se llama generatriz y el cateto sobre el que gira es el eje.

Sus elementos son:

  • Vértice: V
  • Altura: h
  • Generatriz: g

Troncos de cono

Si se corta un cono recto por un plano paralelo a la base y se prescinde de la parte superior, se obtiene un tronco de cono.

Esta está formada por:

  • Dos bases circulares con distinto radio: R y r
  • Una cara lateral
  • Altura: h
  • Generatriz: g

Área y volumen de un cono

Las áreas lateral y total de un cono de radio de la base r y de altura h son:

A_{lateral}=\pi rg
A_{total}=A_{lateral}+A_{base}=\pi rg + \pi r^2 = \pi r (g+r)

El volumen de un cono es

V=\frac{Abase * h}{3} = \frac{\pi r^2 * h}{3}

Esferas

Una esfera es un cuerpo redondo que se genera al girar un semicírculo sobre su diámetro.

La superficie que lo delimita se llama superficie esférica:

Partes de la esfera

Área y volumen de una esfera

El área de una superficie esférica de radio r es:

A = 4*\pi r^2

El volumen de una esfera de radio r es:

V = \frac{4*\pi*r^2}{3}

Categorías: AprenderMatemáticas

Alexandru Theodor Muntenas

Estudiante de la ESO en el IES Montevives. Miembro del Área de Altas Capacidades del IES Montevives y percusionista en la Banda Municipal Las Gabias. Aprender es una pasión : 9

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